Zadanie 33 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom podstawowy

\(5120\)

W zapisie nie występuje zero, więc każda cyfra należy do zbioru \(\{1,2,\ldots,9\}\). Dzielimy te cyfry na trzy grupy: cyfra \(7\), cyfry parzyste (\(2,4,6,8\) — cztery cyfry) oraz cyfry nieparzyste różne od \(7\) (\(1,3,5,9\) — cztery cyfry). Liczba ma zawierać dokładnie jedną siódemkę i dokładnie jedną cyfrę parzystą, a pozostałe trzy cyfry muszą być nieparzyste i różne od \(7\). Miejsce dla siódemki wybieramy spośród pięciu pozycji, czyli na \(5\) sposobów. Miejsce dla cyfry parzystej wybieramy spośród czterech pozostałych pozycji, czyli na \(4\) sposoby, a samą cyfrę parzystą na \(4\) sposoby. Na każdej z trzech pozostałych pozycji wpisujemy niezależnie jedną z czterech cyfr nieparzystych różnych od \(7\), co daje \(4^3=64\) możliwości. Z reguły mnożenia \[5\cdot4\cdot4\cdot4^3=5\cdot4^5=5\cdot1024=5120.\] **Odpowiedź.** \(5120\)

**2–3 pkt** – poprawne zliczenie ustawień odpowiednich grup cyfr. **4 pkt** – \(5\cdot 4\cdot 4\cdot 4^{3}=5120\).

Zadanie 33. (0–4) Użycie i tworzenie strategii Zliczenie obiektów w prostej sytuacji kombinatorycznej (IV.10.b) I sposób rozwiązania Zauważamy, że dla poprawnego rozwiązania zadania istotne są trzy grupy cyfr: cyfra 7, cyfry parzyste bez zera oraz cyfry nieparzyste różne od 7.  Miejsce dla cyfry 7 możemy wybrać na 5 sposobów.  Miejsce dla cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby.  Cyfrę parzystą do wpisania na wybranym miejscu możemy wybrać spośród 4 cyfr parzystych, czyli na 4 sposoby.  Na pozostałych trzech miejscach możemy wpisać cyfry nieparzyste różne od 7. Możemy to zrobić na 43  64 sposoby. Zatem wszystkich liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania jest: 5  4  4  43  5  45  5 1024  5120 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt Obliczenie, na ile sposobów można ustawić cyfry z dwóch grup cyfr (spośród trzech rozważanych). Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie, na ile sposobów można ustawić cyfry z trzech grup cyfr:  Miejsce dla cyfry 7 – na 5 sposobów.  Miejsce dla cyfry parzystej – na 4 sposoby.  Cyfrę parzystą do wpisania na wybranym miejscu – na 4 sposoby.  Cyfry nieparzyste różne od 7 na pozostałych trzech miejscach – na 43  64 sposoby. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 4 pkt Obliczenie, ile liczb pięciocyfrowych spełnia warunki zadania: 5  45  5120 . II sposób rozwiązania Rozpatrujemy następujące trzy warianty ustawień cyfr: 1) na pierwszym miejscu cyfra 7, na jednym z czterech miejsc cyfra parzysta, a na każdym z pozostałych trzech miejsc cyfra nieparzysta różna od 7. Każdą z czterech cyfr parzystych możemy umieścić na jednym z czterech miejsc na 4  4 sposobów, zaś każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych (bez cyfry 7 ) możemy rozmieścić na trzech miejscach na 4  4  4  43 sposobów. Zatem liczba możliwych ustawień cyfr w tym wariancie równa się: 4  4  43  45  1024 . 2) na pierwszym miejscu cyfra parzysta różna od 0, na jednym z czterech pozostałych miejsc cyfra 7, zaś na każdym z pozostałych trzech miejsc cyfra nieparzysta różna od 7. Na pierwszym miejscu możemy ustawić każdą z czterech cyfr parzystych różnych od zera, zaś na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy umieścić cyfrę 7 , stąd otrzymujemy 4  4 możliwości ustawień cyfry parzystej oraz cyfry 7 . Natomiast każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych różnych od 7 możemy rozmieścić na pozostałych trzech miejscach na 4  4  4  43 sposobów. Zatem liczba możliwych ustawień cyfr w tym wariancie jest równa: 4  4  43  45  1024 . 16 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy 3) na pierwszym miejscu cyfra nieparzysta różna od 7, na jednym z pozostałych czterech miejsc cyfra parzysta, na jednym z trzech pozostałych miejsc cyfra 7, a na pozostałych dwóch miejscach cyfra nieparzysta różna od 7. Każdą z czterech cyfr nieparzystych (różną od 7 ) możemy umieścić na pierwszym miejscu (4 sposoby). Na każdym z czterech pozostałych miejsc możemy umieścić każdą z czterech cyfr parzystych na 4  4 sposobów. Cyfrę 7 możemy umieścić na każdym z trzech pozostałych miejsc, zaś każdą z czterech pozostałych cyfr nieparzystych różnych od 7 umieścimy na dwóch miejscach na 3 4  4  3 42 sposobów. Zatem, w tym wariancie, liczba możliwych ustawień jest równa: 4  4  4  3 42  3 45  3072 . Liczba wszystkich możliwych ustawień jest sumą liczb ustawień w poszczególnych wariantach i równa się: 1024 1024  3072  5120 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Przyznajemy po 1 punkcie za obliczenie liczby możliwych ustawień cyfr w każdym z trzech wariantów i 1 punkt za obliczenie sumy tych możliwości.