Równania i nierówności
Zadanie 32, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Dane są wierzchołki trójkąta \(ABC\): \(A=(2,2)\), \(B=(9,5)\) i \(C=(3,9)\). Z wierzchołka \(C\) poprowadzono wysokość tego trójkąta, która przecina bok \(AB\) w punkcie \(D\). Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(D\) i równoległej do boku \(BC\).
Odpowiedź
\[58x+87y-612=0.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Prosta \(AB\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac{5-2}{9-2}=\frac37\), więc jej równanie ma postać \[3x-7y+8=0.\] Wysokość poprowadzona z \(C\) jest prostopadła do \(AB\), ma więc współczynnik \(-\frac73\) i równanie \[7x+3y-48=0.\] Rozwiązanie układu tych równań daje \[D=\left(\frac{156}{29},\frac{100}{29}\right).\] Bok \(BC\) ma współczynnik kierunkowy \(\frac{9-5}{3-9}=-\frac23\). Szukana prosta przechodzi przez \(D\) i ma ten sam współczynnik, zatem \[y-\frac{100}{29}=-\frac23\left(x-\frac{156}{29}\right),\] czyli \(58x+87y-612=0\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne równanie \(58x+87y-612=0\) lub postać równoważna
**4 pkt** – poprawny punkt \(D\) i współczynnik \(-\frac23\), lecz błąd w równaniu końcowym
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie punktu \(D=(\frac{156}{29},\frac{100}{29})\)
**2 pkt** – poprawne równania prostej \(AB\) i wysokości z \(C\)
**1 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(AB\) lub \(BC\), stanowiące istotny postęp
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria analityczna, równania prostych, prostopadłość i równoległość.
