Graniastosłupy
Zadanie 33, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Jacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi \(2\,\text{cm}\). Zbudował z nich jeden duży sześcian o krawędzi \(8\,\text{cm}\) i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych klocków drugą bryłę - graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Odpowiedź
\[\frac{P_1}{P_2}=\frac{16}{17}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Duży sześcian zawiera \[\left(\frac82\right)^3=64\] małe klocki. Druga bryła powstała z \(63\) klocków. Ponieważ jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, liczba klocków w warstwie musi być kwadratem. Rozkład \(63=3^2\cdot7\) oznacza podstawę \(3\times3\) klocki i wysokość \(7\) klocków, czyli wymiary \(6\,\text{cm}\times6\,\text{cm}\times14\,\text{cm}\). Pole pierwszego sześcianu wynosi \[P_1=6\cdot8^2=384\,\text{cm}^2.\] Pole drugiego graniastosłupa: \[P_2=2\cdot6^2+4\cdot6\cdot14=72+336=408\,\text{cm}^2.\] Zatem \[\frac{P_1}{P_2}=\frac{384}{408}=\frac{16}{17}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawny stosunek \(\frac{16}{17}\) w postaci nieskracalnej
**3 pkt** – poprawne pola \(384\) i \(408\), lecz błąd w stosunku
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie wymiarów drugiej bryły \(6\times6\times14\,\text{cm}\)
**1 pkt** – ustalenie, że pierwsza bryła składa się z \(64\), a druga z \(63\) klocków
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE publikuje rozwiązanie i punktację. **Klasyfikacja rzeczowa:** geometria przestrzenna, sześcian, graniastosłup i pole powierzchni całkowitej.
