Liczby rzeczywiste
Zadanie 15, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dana jest liczba
\[x=a-(\sqrt3-\sqrt2)^2,\qquad a\in\mathbb{R}.\]
Uwzględnij, że liczby \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) oraz \(\sqrt2\cdot\sqrt3\) są niewymierne.
Dokończ zdanie. Zaznacz **dwie** odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie było prawdziwe.
Liczba \(x\) jest wymierna dla
**A.** \(a=5\)
**B.** \(a=(\sqrt2-\sqrt3)^2+0{,}3\)
**C.** \(a=6\)
**D.** \(a=-2\sqrt6+12{,}5\)
**E.** \(a=(\sqrt2-\sqrt3)^2-2\sqrt6\)
**F.** \(a=-\sqrt6\)
Odpowiedź
**B** oraz **D**.
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy kwadrat:
\[x=a-(\sqrt3-\sqrt2)^2=a-(3-2\sqrt6+2)=a-5+2\sqrt6.\]
Liczba \(x\) jest wymierna wtedy, gdy \(a=q-2\sqrt6\) dla pewnego \(q\in\mathbb{Q}\). W odpowiedzi **B**
\[a=(\sqrt2-\sqrt3)^2+0{,}3=5-2\sqrt6+0{,}3=5{,}3-2\sqrt6,\]
a odpowiedź **D** ma postać
\[a=12{,}5-2\sqrt6.\]
Tylko te dwie wartości spełniają warunek.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: **B** i **D**
**1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna: **B** albo **D**
**0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia.
