Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Liczba \(\frac{(\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{27})}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa
A. −\(2\)
B. \(-\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(2\)
Podpowiedź
Oblicz osobno oba pierwiastki trzeciego stopnia w liczniku i pierwiastek piątego stopnia w mianowniku. Przy nieparzystym stopniu pierwiastka liczba ujemna może pozostać pod pierwiastkiem.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Sprowadzamy każdy pierwiastek do liczby całkowitej, a dopiero potem wykonujemy dzielenie.
Rozwiązanie
Mamy \(\sqrt[3]{-64}=-4\), \(\sqrt[3]{27}=3\) oraz \(\sqrt[5]{-32}=-2\). Zatem \[\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}.\]
Sprawdzenie
Licznik i mianownik są ujemne, więc wynik musi być dodatni. Otrzymane \(\frac{1}{2}\) spełnia tę kontrolę.
Odpowiedź
**C.** \(\frac12\)
Rozwiązanie krok po kroku
Pierwiastki nieparzystego stopnia są określone także dla liczb ujemnych, więc obliczamy je wprost z definicji:
\[\sqrt[3]{-64}=-4,\qquad \sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[5]{-32}=-2,\]
bo \((-4)^3=-64\), \(3^3=27\) oraz \((-2)^5=-32\). Zatem
\[\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-4+3}{-2}=\frac{-1}{-2}=\frac12.\]
**Odpowiedź.** **C.** \(\frac12\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymagania określone w podstawie programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.3) Zdający posługuje się w obliczeniach pierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje prawa działań na pierwiastkach.
