Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, maj 2026, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\sqrt{5\sqrt{5}}\) jest równa
A. \(5\)^\((\frac{1}{4})\)
B. \(5\)^\((\frac{1}{2})\)
C. \(5\)^\((\frac{3}{4})\)
D. \(5\)
Podpowiedź
Zapisz oba pierwiastki jako potęgi liczby \(5\).
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Pierwiastek z iloczynu potęg dzieli sumę wykładników przez \(2\).
Rozwiązanie
Ponieważ \(\sqrt{5}=5^{1/2}\), otrzymujemy \[\sqrt{5\sqrt{5}}=\left(5\cdot5^{1/2}\right)^{1/2}=\left(5^{3/2}\right)^{1/2}=5^{3/4}.\] Poprawna jest odpowiedź C.
Sprawdzenie
Podniesienie wyniku do kwadratu daje \(\left(5^{3/4}\right)^2=5^{3/2}=5\sqrt{5}\), czyli liczbę pod pierwiastkiem.
Odpowiedź
**C.** \(5^{\frac34}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Pierwiastek zapisujemy jako potęgę o wykładniku wymiernym i korzystamy z prawa mnożenia potęg o tej samej podstawie:
\[5\sqrt5=5^1\cdot5^{\frac12}=5^{\frac32}.\]
Zatem
\[\sqrt{5\sqrt5}=\left(5^{\frac32}\right)^{\frac12}=5^{\frac34}.\]
**Odpowiedź.** **C.** \(5^{\frac34}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.4) Zdający stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.
