Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Liczba \(\frac{3^{10}\cdot9^{20}}{27^{15}}\) jest równa
**A.** \(1\)
**B.** \(3^{5}\)
**C.** \(3^{15}\)
**D.** \(3^{45}\)
Odpowiedź
**B.** \(3^5\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wyrażeniu występują trzy różne podstawy: \(3\), \(9\) i \(27\). Ponieważ \(9=3^{2}\) i \(27=3^{3}\), wszystko można sprowadzić do potęg trójki — dopiero wtedy wolno dodawać i odejmować wykładniki.
**Krok \(2\).** Zamieniamy \(9^{20}\), korzystając ze wzoru \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\):
\[9^{20}=(3^{2})^{20}=3^{40}.\]
**Krok \(3\).** Tak samo zamieniamy \(27^{15}\):
\[27^{15}=(3^{3})^{15}=3^{45}.\]
**Krok \(4\).** Mnożymy potęgi w liczniku (wykładniki dodajemy):
\[3^{10}\cdot3^{40}=3^{10+40}=3^{50}.\]
**Krok \(5\).** Dzielimy (wykładniki odejmujemy):
\[\frac{3^{50}}{3^{45}}=3^{50-45}=3^{5}.\]
**Uwaga.** Trzeba rozróżnić dwie operacje na wykładnikach: przy potęgowaniu potęgi wykładniki **mnożymy** (\((3^{2})^{20}=3^{40}\), a nie \(3^{22}\)), a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie je **dodajemy**.
**Odpowiedź.** B: \(3^{5}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
I.4) Zdający stosuje prawa działań na potęgach.
