Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dana jest liczba
\[x=a-(\sqrt3-\sqrt2)^2,\qquad a\in\mathbb R.\]
Uwzględnij, że liczby \(\sqrt3\) oraz \(\sqrt2\cdot\sqrt3\) są niewymierne.
**Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.**
Liczba \(x\) jest wymierna dla
A. \(a=5\)
B. \(a=-\sqrt3+\sqrt2\)
C. \(a=(\sqrt2-\sqrt3)^2+0{,}3\)
D. \(a=6\)
E. \(a=-2\sqrt6+12{,}5\)
F. \(a=(\sqrt2-\sqrt3)^2-2\sqrt6\)
G. \(a=-\sqrt6\)
Odpowiedź
**C i E.**
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy kwadrat:
\[x=a-(\sqrt3-\sqrt2)^2=a-(5-2\sqrt6)=a-5+2\sqrt6.\]
Liczba \(x\) jest wymierna, gdy \(a=q-2\sqrt6\) dla pewnej liczby wymiernej \(q\). Warunek ten spełniają
\[a=(\sqrt2-\sqrt3)^2+0{,}3=5{,}3-2\sqrt6\]
oraz \(a=12{,}5-2\sqrt6\), czyli odpowiedzi C i E.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie odpowiedzi C i E
**1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: C albo E
**0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia.
