Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie że
\[\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]
**Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x+y}{x}\). Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.**
Odpowiedź
\[\frac{x+y}{x}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunku \(\frac{x}{y}=\frac{1+\sqrt5}{2}\) otrzymujemy \(\frac{y}{x}=\frac{2}{1+\sqrt5}\). Zatem
\[\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt5}=\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}.\]
Usuwamy niewymierność z mianownika:
\[\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}\cdot\frac{1-\sqrt5}{1-\sqrt5}=\frac{1+\sqrt5}{2}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia do postaci \(\frac{1+\sqrt5}{2}\)
**1 pkt** – uzyskanie postaci \(1+\frac{2}{1+\sqrt5}\) albo \(\frac{3+\sqrt5}{1+\sqrt5}\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1 i II.8 stosowanie wzorów skróconego mnożenia oraz wykonywanie działań na wyrażeniach wymiernych.
