Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 43, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność
\[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}.\]
Odpowiedź
Wykazano, że \(\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy
\[a=\sqrt{2^{50}+1},\qquad b=\sqrt{2^{50}-1}.\]
Ponieważ \(a\neq b\), mamy \((a-b)^2>0\), a stąd
\[a^2+b^2>2ab.\]
Zatem
\[\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+b^2+2ab\\&<a^2+b^2+a^2+b^2\\&=2(a^2+b^2)\\&=2\left(2^{50}+1+2^{50}-1\right)\\&=2^{52}.\end{aligned}\]
Obie strony są dodatnie, więc
\[a+b<\sqrt{2^{52}}=2^{26}.\]
Po powrocie do oznaczeń otrzymujemy tezę
\[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje dwa rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 3 pkt** – pełny poprawny dowód nierówności
**2 pkt** – poprawne uzyskanie \((a+b)^2<2^{52}\) albo równoważnego oszacowania, z drobną usterką końcową
**1 pkt** – wprowadzenie \(a=\sqrt{2^{50}+1}\), \(b=\sqrt{2^{50}-1}\) i wykorzystanie \((a-b)^2>0\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozumowanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
