Równania kwadratowe
Zadanie 44, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
W roku \(2015\) na uroczystości urodzinowej Marka ktoś spytał go, ile ma lat. Marek odpowiedział: jeżeli swój wiek sprzed \(27\) lat pomnożę przez wiek, który będę miał za \(15\) lat, to otrzymam rok swojego urodzenia. Oblicz, ile lat ma Marek.
Odpowiedź
W roku \(2015\) Marek ma \(55\) lat.
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\) oznacza wiek Marka w roku \(2015\). Wiek Marka sprzed \(27\) lat wynosi \(x-27\), wiek za \(15\) lat wyniesie \(x+15\), a rok jego urodzenia to \(2015-x\). Z warunku zadania otrzymujemy równanie
\[(x-27)(x+15)=2015-x.\]
Po rozwinięciu i uporządkowaniu
\[x^2-12x-405=2015-x,\]
czyli
\[x^2-11x-2420=0.\]
Rozkładamy trójmian na czynniki:
\[(x-55)(x+44)=0.\]
Stąd \(x=55\) lub \(x=-44\). Ujemny wiek odrzucamy, zatem w roku \(2015\) Marek ma \(55\) lat.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 5 pkt** – poprawna odpowiedź \(55\) lat wraz z pełnym modelem, rozwiązaniem równania i odrzuceniem ujemnego pierwiastka
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie pierwiastków \(55\) i \(-44\) na podstawie prawidłowego równania, z niepełnym wnioskiem
**3 pkt** – doprowadzenie do równania \(x^2-11x-2420=0\)
**2 pkt** – poprawne zapisanie modelu \((x-27)(x+15)=2015-x\)
**1 pkt** – oznaczenie obecnego wieku przez \(x\) i poprawne wyrażenie co najmniej dwóch wielkości z treści zadania
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.
**Wymagania szczegółowe:**
3.4. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą.
