Nierówności
Zadanie 105, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Wykaż, że prawdziwa jest nierówność
\[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}<2^{26}.\]
Odpowiedź
Nierówność \(\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}\lt2^{26}\) jest prawdziwa (dowód).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Po obu stronach nierówności stoją liczby dodatnie: suma pierwiastków po lewej i potęga \(2^{26}\) po prawej. Dla liczb dodatnich nierówność \(L\lt P\) jest równoważna nierówności \(L^2\lt P^2\), bo funkcja podnoszenia do kwadratu jest rosnąca na liczbach dodatnich. To pozwala pozbyć się pierwiastków — podnosimy obie strony do kwadratu.
**Krok \(2\).** Oznaczmy
\[L=\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1},\qquad P=2^{26}.\]
Zauważmy, że wyrażenie \(2^{50}-1\) jest dodatnie, więc oba pierwiastki istnieją.
**Krok \(3\).** Podnosimy lewą stronę do kwadratu wzorem \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\):
\[L^2=\left(2^{50}+1\right)+2\sqrt{\left(2^{50}+1\right)\left(2^{50}-1\right)}+\left(2^{50}-1\right).\]
**Krok \(4\).** Iloczyn pod pierwiastkiem to różnica kwadratów:
\[\left(2^{50}+1\right)\left(2^{50}-1\right)=\left(2^{50}\right)^2-1^2=2^{100}-1,\]
a suma wyrazów poza pierwiastkiem wynosi \(2\cdot2^{50}=2^{51}\). Zatem
\[L^2=2^{51}+2\sqrt{2^{100}-1}.\]
**Krok \(5\).** Prawa strona po podniesieniu do kwadratu:
\[P^2=\left(2^{26}\right)^2=2^{52}.\]
**Krok \(6\).** Trzeba więc wykazać, że
\[2^{51}+2\sqrt{2^{100}-1}\lt2^{52}.\]
Ponieważ \(2^{52}=2\cdot2^{51}=2^{51}+2^{51}\), po odjęciu \(2^{51}\) od obu stron sprowadza się to do nierówności
\[2\sqrt{2^{100}-1}\lt2^{51},\qquad\text{czyli}\qquad \sqrt{2^{100}-1}\lt2^{50}.\]
**Krok \(7\).** Ta ostatnia nierówność jest oczywista: mamy \(2^{100}-1\lt2^{100}=\left(2^{50}\right)^2\), a pierwiastkowanie zachowuje nierówność między liczbami nieujemnymi, więc
\[\sqrt{2^{100}-1}\lt\sqrt{\left(2^{50}\right)^2}=2^{50}.\]
**Krok \(8\).** Cofamy się po kolejnych równoważnościach: skoro \(\sqrt{2^{100}-1}\lt2^{50}\), to \(L^2\lt P^2\), a ponieważ \(L\gt0\) i \(P\gt0\), otrzymujemy \(L\lt P\), czyli
\[\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}\lt2^{26},\]
co należało wykazać.
**Uwaga.** Podnoszenie nierówności do kwadratu jest przekształceniem równoważnym **tylko wtedy**, gdy obie strony są nieujemne — dlatego w kroku \(1\) trzeba było to wyraźnie sprawdzić. Pomocne było też dostrzeżenie, że \(2^{26}=\sqrt{2^{52}}\), czyli że prawa strona po podniesieniu do kwadratu jest ładną potęgą dwójki.
**Odpowiedź.** Nierówność \(\sqrt{2^{50}+1}+\sqrt{2^{50}-1}\lt2^{26}\) jest prawdziwa.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: dowód
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.
