Trójkąty
Zadanie 104, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Na zewnątrz trójkąta prostokątnego \(ABC\), w którym \(|\angle ACB|=90^\circ\) oraz \(|AC|=5\), \(|BC|=12\), zbudowano kwadrat \(ACDE\) (patrz rysunek). Punkt \(H\) leży na prostej \(AB\) i kąt \(|\angle EHA|=90^\circ\). Oblicz pole trójkąta \(HAE\).
Odpowiedź
\(\frac{750}{169}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny przy \(C\), więc
\[\lvert AB\rvert=\sqrt{5^2+12^2}=13.\]
Bok kwadratu \(ACDE\) ma długość \(\lvert AE\rvert=\lvert AC\rvert=5\).
Oznaczmy \(\gamma=\lvert\angle CAB\rvert\). W trójkącie \(ABC\)
\[\sin\gamma=\frac{12}{13},\qquad \cos\gamma=\frac{5}{13}.\]
Kwadrat zbudowano na zewnątrz trójkąta, więc \(\lvert\angle EAC\rvert=90^\circ\) i punkt \(E\) leży po przeciwnej stronie prostej \(AC\) niż \(B\). Kąt między półprostą \(AE\) a prostą \(AB\), zawierający punkt \(H\), ma zatem miarę
\[\lvert\angle EAH\rvert=180^\circ-\left(90^\circ+\gamma\right)=90^\circ-\gamma.\]
Trójkąt \(HAE\) jest prostokątny przy \(H\), a \(AE=5\) jest jego przeciwprostokątną, więc
\[\lvert AH\rvert=5\cos\left(90^\circ-\gamma\right)=5\sin\gamma=\frac{60}{13},\qquad \lvert EH\rvert=5\sin\left(90^\circ-\gamma\right)=5\cos\gamma=\frac{25}{13}.\]
Pole:
\[P_{HAE}=\tfrac12\cdot\frac{60}{13}\cdot\frac{25}{13}=\frac{750}{169}.\]
**Odpowiedź.** \(P_{HAE}=\dfrac{750}{169}\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(\frac{750}{169}\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria płaska.
