Nierówności
Zadanie 106, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Udowodnij, że jeśli
a) \(x\), \(y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2+y^2\geqslant2xy\);
b) \(x\), \(y\), \(z\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x+y+z=1\), to \(x^2+y^2+z^2\geqslant\frac13\).
Odpowiedź
dowód
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W obu podpunktach dowodzimy nierówności, więc stosujemy standardowy sposób: przenosimy wszystko na jedną stronę i próbujemy rozpoznać wyrażenie, o którym wiadomo, że jest nieujemne - najczęściej kwadrat. Podpunkt b) rozwiążemy, korzystając z gotowej już nierówności z podpunktu a).
**Krok \(2\).** Podpunkt a). Nierówność \(x^{2}+y^{2}\geq2xy\) przekształcamy równoważnie, odejmując \(2xy\) od obu stron:
\[x^{2}-2xy+y^{2}\geq0.\]
**Krok \(3\).** Lewa strona to kwadrat różnicy (wzór skróconego mnożenia):
\[x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}.\]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \((x-y)^{2}\geq0\) zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\). Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, wyjściowa nierówność też jest prawdziwa. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy \(x=y\).
**Krok \(4\).** Podpunkt b). Mamy warunek dotyczący sumy \(x+y+z=1\), a tezę dotyczącą sumy kwadratów. Naturalnym pomysłem jest podniesienie warunku do kwadratu, bo wtedy pojawią się i kwadraty, i iloczyny:
\[1=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx.\]
**Krok \(5\).** Iloczyny szacujemy nierównością z podpunktu a), stosowaną trzykrotnie do różnych par zmiennych:
\[2xy\leq x^{2}+y^{2},\qquad 2yz\leq y^{2}+z^{2},\qquad 2zx\leq z^{2}+x^{2}.\]
**Krok \(6\).** Dodajemy te trzy nierówności stronami. Po prawej stronie każda ze zmiennych pojawia się dwa razy:
\[2xy+2yz+2zx\leq2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).\]
**Krok \(7\).** Wstawiamy to oszacowanie do równości z kroku \(4\):
\[1=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\left(2xy+2yz+2zx\right)\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right).\]
**Krok \(8\).** Dzielimy obie strony przez \(3\) (liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje):
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq\frac13,\]
co należało wykazać.
**Uwaga.** W kroku \(7\) korzystamy z tego, że zastąpienie sumy iloczynów większym wyrażeniem może tylko powiększyć prawą stronę - dlatego nierówność jest zachowana. Równość w b) zachodzi wyłącznie dla \(x=y=z=\frac13\), bo tylko wtedy wszystkie trzy nierówności z kroku \(5\) stają się równościami.
**Odpowiedź.** Obie nierówności są udowodnione: w a) sprowadzamy tezę do \((x-y)^{2}\geq0\), a w b) sumujemy trzy takie nierówności i korzystamy z \((x+y+z)^{2}=1\), otrzymując \(x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq\frac13\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: dowód
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.
