Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, sierpień 2025, poziom podstawowy
Liczba \(\frac{25^{-2}}{125^{-4}}\) jest równa
**A.** \(5^{-16}\)
**B.** \(5^{-2}\)
**C.** \(5^{4}\)
**D.** \(5^{8}\)
Odpowiedź
**D.** \(25^{-2}=5^{-4}\) oraz \(125^{-4}=5^{-12}\), więc \(\frac{25^{-2}}{125^{-4}}=5^{-4-(-12)}=5^{8}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Podstawy \(25\) i \(125\) są różne, ale obie są potęgami piątki. Sprowadzamy więc licznik i mianownik do wspólnej podstawy \(5\) — dopiero wtedy będzie można skorzystać z reguły dzielenia potęg.
**Krok \(2\).** Zamieniamy licznik. Ponieważ \(25=5^2\), a przy potędze z potęgi wykładniki się mnożą:
\[25^{-2}=\left(5^2\right)^{-2}=5^{2\cdot(-2)}=5^{-4}.\]
**Krok \(3\).** Tak samo mianownik. Ponieważ \(125=5^3\):
\[125^{-4}=\left(5^3\right)^{-4}=5^{3\cdot(-4)}=5^{-12}.\]
**Krok \(4\).** Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, czyli odejmujemy wykładniki:
\[\frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4-(-12)}.\]
**Krok \(5\).** Ostrożnie liczymy wykładnik — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
\[-4-(-12)=-4+12=8.\]
**Krok \(6\).** Zatem wartość wyrażenia to \(5^8\).
**Uwaga.** Największa pułapka to potraktowanie \(-4-(-12)\) jak \(-4-12=-16\), co daje odpowiedź A. Dwa minusy obok siebie dają plus.
**Odpowiedź.** D: \(5^8\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.4) Zdający stosuje […] prawa działań na potęgach […].
