Zadanie 4 – matura z matematyki sierpień 2025, poziom podstawowy

**A.** \(\log_3 2-\log_3 18=\log_3\frac{2}{18}=\log_3\frac19=\log_3 3^{-2}=-2\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy sytuację: odejmujemy dwa logarytmy o tej samej podstawie \(3\). Służy do tego wzór na logarytm ilorazu \[\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}\qquad(x\gt0,\ y\gt0),\] który zwija całe wyrażenie do jednego logarytmu. **Krok \(2\).** Stosujemy wzór: \[\log_{3}2-\log_{3}18=\log_{3}\frac{2}{18}.\] **Krok \(3\).** Skracamy ułamek: \[\frac{2}{18}=\frac19.\] **Krok \(4\).** Zapisujemy \(\frac19\) jako potęgę trójki. Skoro \(9=3^{2}\), to \[\frac19=\frac{1}{3^{2}}=3^{-2}.\] **Krok \(5\).** Z definicji logarytmu (wykładnik, do którego podnosimy podstawę): \[\log_{3}3^{-2}=-2.\] **Uwaga.** Odejmowanie logarytmów odpowiada **dzieleniu** liczb logarytmowanych, a nie ich odejmowaniu — zapis \(\log_{3}(2-18)\) byłby bez sensu, bo logarytm liczby ujemnej nie istnieje. Znak wyniku łatwo przewidzieć: \(\log_{3}2\) jest mniejszy od \(\log_{3}18\), więc różnica musi być ujemna. **Odpowiedź.** A: \(-2\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.