Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, sierpień 2023, poziom podstawowy
Wartość wyrażenia \((2-\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3}-2)^{2}\) jest równa
A. \(-2\sqrt{3}\)
B. \(0\)
C. \(6\)
D. \(8\sqrt{3}\)
Odpowiedź
B. \(0\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zanim cokolwiek policzymy, przyjrzyjmy się nawiasom: \(2-\sqrt3\) oraz \(\sqrt3-2\). Różnią się tylko kolejnością odejmowania, czyli są liczbami przeciwnymi. To spostrzeżenie załatwia całe zadanie.
**Krok \(2\).** Zapisujemy to formalnie:
\[\sqrt3-2=-\left(2-\sqrt3\right).\]
**Krok \(3\).** Kwadrat liczby przeciwnej jest taki sam jak kwadrat liczby wyjściowej, bo \((-t)^2=t^2\). Zatem
\[\left(\sqrt3-2\right)^2=\left(2-\sqrt3\right)^2.\]
**Krok \(4\).** Odejmujemy dwie równe liczby, więc wynik to zero:
\[\left(2-\sqrt3\right)^2-\left(\sqrt3-2\right)^2=0.\]
**Krok \(5\).** Kontrola przez wymnożenie obu kwadratów:
\[\left(2-\sqrt3\right)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3,\qquad \left(\sqrt3-2\right)^2=3-4\sqrt3+4=7-4\sqrt3,\]
a ich różnica rzeczywiście wynosi \(0\).
**Uwaga.** Nie należy mylić tego zadania z poprzednim typem, w którym nawiasy różnią się znakiem tylko przy jednym składniku (np. \(1+\sqrt5\) i \(1-\sqrt5\)) — tam wynik nie jest zerem. Tutaj zmieniono znak przy **obu** składnikach naraz.
**Odpowiedź.** B: \(0\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 6. (0–1)
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
