Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, sierpień 2023, poziom podstawowy
Wartość wyrażenia \([\frac{3^{-1}}{(-\frac{1}{9})}^{-2}] \cdot 81\) jest równa
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(-\frac{1}{3}\)
C. \(3\)
D. −\(3\)
Odpowiedź
A. \(\frac{1}{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wyrażeniu
\[\frac{3^{-1}}{\left(-\tfrac19\right)^{-2}}\cdot81\]
występują wykładniki ujemne. Reguła jest jedna: \(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\), czyli ujemny wykładnik oznacza przejście do odwrotności. Liczymy osobno licznik i mianownik, a dopiero potem wykonujemy dzielenie i mnożenie.
**Krok \(2\).** Licznik:
\[3^{-1}=\frac13.\]
**Krok \(3\).** Mianownik. Najpierw odwrotność, potem kwadrat:
\[\left(-\frac19\right)^{-2}=\frac{1}{\left(-\frac19\right)^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{81}}=81.\]
Zauważmy, że wykładnik jest parzysty, więc minus znika.
**Krok \(4\).** Wstawiamy do wyrażenia:
\[\frac{\frac13}{81}\cdot81.\]
**Krok \(5\).** Dzielenie przez \(81\) i mnożenie przez \(81\) znoszą się wzajemnie, więc zostaje
\[\frac13.\]
(Gdyby liczyć „na piechotę”: \(\frac{1}{3}:81=\frac{1}{243}\), a następnie \(\frac{1}{243}\cdot81=\frac{81}{243}=\frac13\).)
**Uwaga.** Ujemny wykładnik sam w sobie nie robi liczby ujemnej — o znaku decyduje podstawa i parzystość wykładnika. Tutaj podstawa jest ujemna, ale wykładnik \(-2\) jest parzysty, więc wynik wychodzi dodatni i odpowiedzi ze znakiem minus odpadają.
**Odpowiedź.** A: \(\frac13\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 5. (0–1)
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
![Rozwiązanie zadania 5 (matura z matematyki sierpień 2023): Wartość wyrażenia [3⁻¹(-1/9)⁻²] · 81 jest równa A. 1/3 B. -1/3 C. 3 D. − 3](rozwiazanie.webp)
