Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, sierpień 2023, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) liczba
\[3n^3+18n^2+15n\]
jest podzielna przez \(6\).
Odpowiedź
\(3n^3+18n^2+15n=3n(n+1)(n+5)\), więc liczba jest podzielna przez \(6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozkładamy wyrażenie na czynniki:
\[3n^3+18n^2+15n=3n(n^2+6n+5)=3n(n+1)(n+5).\]
Czynnik \(3\) zapewnia podzielność przez \(3\). Liczby \(n\) i \(n+1\) są kolejne, więc jedna z nich jest parzysta; iloczyn \(n(n+1)\) jest zatem podzielny przez \(2\). Całe wyrażenie jest jednocześnie podzielne przez \(2\) i \(3\), a więc przez \(6\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne uzasadnienie podzielności jednocześnie przez \(2\) i przez \(3\)
**1 pkt** – rozkład \(3n(n+1)(n+5)\) lub inne poprawne częściowe uzasadnienie podzielności przez \(2\) albo \(3\)
**0 pkt** – niepoprawne rozumowanie albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych.
**Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - podzielność liczb naturalnych i dowód algebraiczny.
