Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, sierpień 2023, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Liczba
\[3\sqrt{45}-\sqrt{20}\]
jest równa
**A.** \(\sqrt{35}\)
**B.** \(\sqrt5\)
**C.** \(7\)
**D.** \(7\sqrt5\)
Odpowiedź
**D.** \(7\sqrt5\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy odjąć dwa pierwiastki o różnych liczbach podpierwiastkowych. Tak zapisanych pierwiastków nie da się odjąć bezpośrednio — najpierw trzeba je uprościć, wyłączając czynnik przed znak pierwiastka. Liczymy na to, że pod oboma zostanie ta sama liczba.
**Krok \(2\).** Rozkładamy \(45\) tak, aby wyodrębnić kwadrat: \(45=9\cdot5\). Zatem
\[\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt9\cdot\sqrt5=3\sqrt5.\]
**Krok \(3\).** Uwzględniamy trójkę stojącą przed pierwiastkiem:
\[3\sqrt{45}=3\cdot3\sqrt5=9\sqrt5.\]
**Krok \(4\).** Tak samo postępujemy z drugim pierwiastkiem: \(20=4\cdot5\), więc
\[\sqrt{20}=\sqrt4\cdot\sqrt5=2\sqrt5.\]
**Krok \(5\).** Teraz oba wyrazy zawierają \(\sqrt5\), więc traktujemy \(\sqrt5\) jak wspólny czynnik:
\[9\sqrt5-2\sqrt5=(9-2)\sqrt5=7\sqrt5.\]
**Uwaga.** Pierwiastek z różnicy to nie to samo co różnica pierwiastków: \(\sqrt{45}-\sqrt{20}\neq\sqrt{45-20}\). Odpowiedzi A i B biorą się właśnie z takich niedozwolonych skrótów, a odpowiedź C — z zapomnienia o \(\sqrt5\) na końcu.
**Odpowiedź.** D: \(7\sqrt5\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych.
**Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste - działania na pierwiastkach.
