Liczby rzeczywiste
Zadanie 2, sierpień 2018, poziom podstawowy
Liczba \(3\) \(2\) jest równa
\(1\) \(1\) \(1\) \(2\)
A. \(2\) \(6\) B. \(2\) \(5\) C. \(2\) \(3\) D. \(2\) \(3\)
Odczyt redakcyjny — zapis matematyczny w arkuszu jest rozbity
Prawdopodobny zapis: „Liczba \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}\) jest równa” z wariantami **A.** \(2^{\frac{1}{6}}\) **B.** \(2^{\frac{1}{5}}\) **C.** \(2^{\frac{1}{3}}\) **D.** \(2^{\frac{2}{3}}\).
znaki pierwiastków zniknęły i po słowie „Liczba” zostało samo „\(3\) \(2\)”, czyli stopień \(3\) pierwiastka wewnętrznego i liczba \(2\) pod nim (pierwiastek zewnętrzny jest kwadratowy, więc nie ma widocznego stopnia); w wariantach wiersz „\(1\) \(1\) \(1\) \(2\)” to liczniki wykładników ułamkowych, a pary „\(2\) \(6\)”, „\(2\) \(5\)”, „\(2\) \(3\)”, „\(2\) \(3\)” to podstawa \(2\) wraz z mianownikiem wykładnika. Zgodność z odpowiedzią A, bo \(\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\left(2^{\frac13}\right)^{\frac12}=2^{\frac16}\); dystraktor \(2^{\frac13}\) (C) to sam pierwiastek wewnętrzny.
Odpowiedź
A
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W zapisie treści zgubiły się znaki pierwiastków: chodzi o liczbę \(\sqrt[3]{\sqrt2}\), a warianty odpowiedzi to \(2^{\frac16}\), \(2^{\frac15}\), \(2^{\frac13}\), \(2^{\frac23}\). Mamy pierwiastek pod pierwiastkiem, a odpowiedzi są potęgami, więc metoda narzuca się sama: zamieniamy pierwiastki na potęgi o wykładnikach wymiernych.
**Krok \(2\).** Pierwiastek kwadratowy zapisujemy jako potęgę:
\[\sqrt2=2^{\frac12}.\]
**Krok \(3\).** Pierwiastek stopnia trzeciego to potęga o wykładniku \(\frac13\):
\[\sqrt[3]{\sqrt2}=\sqrt[3]{2^{\frac12}}=\left(2^{\frac12}\right)^{\frac13}.\]
**Krok \(4\).** Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:
\[\left(2^{\frac12}\right)^{\frac13}=2^{\frac12\cdot\frac13}=2^{\frac16}.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy: liczba \(2^{\frac16}\) podniesiona do potęgi szóstej daje \(2\). Rzeczywiście
\[\left(\sqrt[3]{\sqrt2}\right)^{6}=\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt2}\right)^{3}\right)^{2}=\left(\sqrt2\right)^{2}=2.\]
**Uwaga.** Przy pierwiastku w pierwiastku wykładniki się mnożą, a nie dodają. Dodanie dałoby błędny wynik \(2^{\frac12+\frac13}=2^{\frac56}\).
**Odpowiedź.** A, czyli \(2^{\frac16}\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 2.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
