Liczby rzeczywiste
Zadanie 2, sierpień 2014, poziom podstawowy
Liczba \(\frac12\cdot 2^{2014}\) jest równa
**A.** \(2^{2013}\)
**B.** \(2^{2012}\)
**C.** \(2^{1007}\)
**D.** \(1^{2014}\)
Odpowiedź
**A.** \(2^{2013}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W odpowiedziach występują potęgi dwójki, więc cały iloczyn trzeba zapisać jako jedną potęgę o podstawie \(2\). Zaczynamy od zamiany ułamka \(\frac12\) na potęgę dwójki.
**Krok \(2\).** Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym:
\[\frac12=\frac{1}{2^{1}}=2^{-1}.\]
**Krok \(3\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:
\[\frac12\cdot2^{2014}=2^{-1}\cdot2^{2014}=2^{-1+2014}=2^{2013}.\]
**Krok \(4\).** Sprawdzamy sens wyniku na małych liczbach: \(\frac12\cdot2^{4}=\frac{16}{2}=8=2^{3}\), czyli wykładnik zmniejszył się o \(1\). Dokładnie to samo dzieje się przy \(2^{2014}\).
**Uwaga.** Podzielenie przez \(2\) zmniejsza wykładnik o \(1\), a nie dzieli go na pół. Dlatego wariant \(2^{1007}\) jest błędny. Błędny jest też \(1^{2014}=1\).
**Odpowiedź.** A, czyli \(2^{2013}\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 2. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
