Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, sierpień 2012, poziom podstawowy
Iloczyn
\[9^{-5}\cdot3^8\]
jest równy
**A.** \(3^{-4}\)
**B.** \(3^{-9}\)
**C.** \(9^{-1}\)
**D.** \(9^{-9}\)
Odpowiedź
**C.** \(9^{-1}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mnożymy dwie potęgi, ale o różnych podstawach (\(9\) i \(3\)), więc wykładników nie można od razu dodać. Zauważamy jednak, że \(9=3^2\) — sprowadzamy wszystko do jednej podstawy \(3\).
**Krok \(2\).** Zamieniamy pierwszą potęgę. Korzystamy ze wzoru \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\):
\[9^{-5}=(3^2)^{-5}=3^{2\cdot(-5)}=3^{-10}.\]
**Krok \(3\).** Teraz obie potęgi mają podstawę \(3\), więc przy mnożeniu wykładniki dodajemy:
\[3^{-10}\cdot3^{8}=3^{-10+8}=3^{-2}.\]
**Krok \(4\).** Wśród odpowiedzi nie ma \(3^{-2}\), więc wracamy do podstawy \(9\). Ponieważ \(3^{-2}=(3^2)^{-1}\), a \(3^2=9\), otrzymujemy
\[3^{-2}=9^{-1}.\]
**Krok \(5\).** Dla pewności sprawdzamy liczbowo: \(3^{-2}=\frac{1}{9}\) oraz \(9^{-1}=\frac19\) — zgadza się.
**Uwaga.** Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy, a przy podnoszeniu potęgi do potęgi — mnożymy. Pomylenie tych dwóch reguł albo potraktowanie \(9^{-5}\) tak, jakby to było \(3^{-5}\), prowadzi prosto do błędnych odpowiedzi.
**Odpowiedź.** C: \(9^{-1}\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 2. (0–1)
Wykorzystanie Stosuje prawa działań na potęgach
i interpretowanie reprezentacji o wykładnikach wymiernych; oblicza C
potęgi o wykładniku wymiernym.
