Potęgi i pierwiastki
Zadanie 6, sierpień 2010, poziom podstawowy
Kwadrat liczby \(x=2-\sqrt3\) jest równy
**A.** \(7-4\sqrt3\)
**B.** \(7+4\sqrt3\)
**C.** \(1\)
**D.** \(7\)
Odpowiedź
**A.** \(7-4\sqrt3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy podnieść do kwadratu różnicę dwóch liczb, z których jedna jest pierwiastkiem. Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
i podstawiamy \(a=2\), \(b=\sqrt3\).
**Krok \(2\).** Liczymy pierwszy składnik: \(a^2=2^2=4\).
**Krok \(3\).** Liczymy podwojony iloczyn:
\[2ab=2\cdot2\cdot\sqrt3=4\sqrt3.\]
**Krok \(4\).** Liczymy trzeci składnik. Kwadrat i pierwiastek kwadratowy znoszą się (dla liczby nieujemnej):
\[b^2=(\sqrt3)^2=3.\]
**Krok \(5\).** Składamy wszystko razem:
\[(2-\sqrt3)^2=4-4\sqrt3+3=7-4\sqrt3.\]
**Uwaga.** Nie wolno podnosić do kwadratu każdego składnika osobno: \((2-\sqrt3)^2\neq2^2-(\sqrt3)^2\). Środkowy wyraz \(-4\sqrt3\) jest nieodłączną częścią wzoru i to on odróżnia poprawną odpowiedź A od błędnej D (\(7\)) oraz od B, w której zgubiono znak minus.
**Odpowiedź.** A: \(7-4\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – podnosi wyrażenie z pierwiastkiem do kwadratu.
