Równania i nierówności
Zadanie 3, próbna styczeń 2003, poziom podstawowy
Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby \(27+10\sqrt{2}\), zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco:
\[
\sqrt{27+10\sqrt{2}}=\sqrt{25+10\sqrt{2}+2}=\sqrt{(5)^{2}+2\cdot 5\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{(5+\sqrt{2})^{2}}=5+\sqrt{2}.
\]
Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}\).
Odpowiedź
\(\sqrt{11+6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Szukamy zapisu liczby \(11+6\sqrt{2}\) w postaci kwadratu sumy \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Wyraz \(6\sqrt{2}\) ma odpowiadać podwojonemu iloczynowi \(2ab\).
**Krok \(2\).** Rozbijamy \(11\) na dwa składniki tak, aby jeden był kwadratem liczby wymiernej, a drugi kwadratem wielokrotności \(\sqrt{2}\):
\[11+6\sqrt{2}=9+6\sqrt{2}+2.\]
**Krok \(3\).** Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia. Tu \(a=3\), \(b=\sqrt{2}\), bo \(3^2=9\), \((\sqrt{2})^2=2\) oraz \(2\cdot 3\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}\):
\[9+6\sqrt{2}+2=3^{2}+2\cdot 3\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=(3+\sqrt{2})^{2}.\]
**Krok \(4\).** Wyciągamy pierwiastek. Ponieważ \(3+\sqrt{2}>0\), zachodzi \(\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}=3+\sqrt{2}\):
\[\sqrt{11+6\sqrt{2}}=\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}=3+\sqrt{2}.\]
**Uwaga.** Sprawdzenie zajmuje chwilę: \((3+\sqrt{2})^{2}=9+6\sqrt{2}+2=11+6\sqrt{2}\). Warto je wykonać, bo błędny rozkład \(11\) na składniki daje wynik, który wygląda poprawnie.
**Odpowiedź.** \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}=3+\sqrt{2}\)
Klucz i zasady oceniania
**9. (1 pkt)** – zapisanie liczby \(9+6\sqrt{2}+2\) w postaci \((3)^{2}+2\cdot 3\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\).
**10. (1 pkt)** – zapisanie liczby \((3)^{2}+2\cdot 3\cdot\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\) w postaci \(\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}\), a w konsekwencji w postaci uproszczonej: \(3+\sqrt{2}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
