Potęgi i pierwiastki
Zadanie 11, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Dane są wielomiany
\[Q(x)=x^3-x^2+2\qquad\text{i}\qquad S(x)=-2x^2-2x+4.\]
a) Sprawdź, czy liczba \(2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(Q(x)\).
b) Wielomian \(P(x)\) jest sumą wielomianów \(Q(x)\) i \(S(x)\). Rozłóż wielomian \(P(x)\) na czynniki liniowe.
Odpowiedź
a) \(Q(2)=6\neq 0\), więc liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\); b) \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6=(x-3)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Punkt a) sprawdzamy wprost z definicji pierwiastka wielomianu: liczba \(c\) jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(Q(c)=0\). Wystarczy więc podstawić i policzyć. Punkt b) to dodanie wielomianów, a następnie rozkład na czynniki liniowe — w takiej sytuacji najpierw szukamy wspólnego czynnika przez grupowanie wyrazów.
**Krok \(2\).** a) Podstawiamy \(x=2\) do wzoru \(Q(x)=x^3-x^2+2\):
\[Q(2)=2^3-2^2+2=8-4+2=6.\]
**Krok \(3\).** Ponieważ \(Q(2)=6\ne0\), liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\).
**Krok \(4\).** b) Dodajemy wielomiany, łącząc wyrazy tego samego stopnia:
\[P(x)=\left(x^3-x^2+2\right)+\left(-2x^2-2x+4\right)=x^3+(-1-2)x^2-2x+(2+4)=x^3-3x^2-2x+6.\]
**Krok \(5\).** Rozkładamy przez grupowanie: w pierwszych dwóch wyrazach wspólnym czynnikiem jest \(x^2\), w dwóch ostatnich \(-2\):
\[P(x)=x^2(x-3)-2(x-3)=(x-3)\left(x^2-2\right).\]
**Krok \(6\).** Czynnik \(x^2-2\) rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów, bo \(2=\left(\sqrt2\right)^2\):
\[x^2-2=\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right).\]
**Krok \(7\).** Ostatecznie
\[P(x)=(x-3)\left(x-\sqrt2\right)\left(x+\sqrt2\right).\]
Sprawdzenie wyrazu wolnego: iloczyn wyrazów wolnych czynników to \((-3)\cdot\left(-\sqrt2\right)\cdot\sqrt2=(-3)\cdot(-2)=6\), a taki właśnie wyraz wolny ma \(P(x)\). Zgadza się.
**Uwaga.** Polecenie mówi o czynnikach liniowych, więc nie wolno poprzestać na zapisie \((x-3)\left(x^2-2\right)\) — trójmian \(x^2-2\) ma pierwiastki niewymierne \(\pm\sqrt2\) i trzeba go rozłożyć do końca. Zwróć też uwagę, że rachunek w punkcie a) dotyczy wielomianu \(Q\), a nie \(P\).
**Odpowiedź.** a) \(Q(2)=6\neq 0\), więc liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\); b) \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6=(x-3)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – obliczenie \(Q(2)=6\).
**(1 pkt)** – sformułowanie odpowiedzi: liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(Q\).
**(1 pkt)** – wykonanie dodawania wielomianów: \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-2x+6\).
**(1 pkt)** – zapisanie \(P(x)=(x-3)\left(x^{2}-2\right)\).
**(1 pkt)** – zapisanie \(P(x)=(x-3)\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
