Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, maj 2025, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}\) jest równa
**A.** \(30\)
**B.** \(31\)
**C.** \(5^{12}\)
**D.** \(5^{27}\)
Odpowiedź
**B.** Wyłączamy \(5^{12}\) przed nawias:
\[\frac{5^{12}+5^{13}+5^{14}}{5^{12}}=1+5+25=31.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W liczniku jest suma trzech potęg o tej samej podstawie \(5\). Sumy potęg nie wolno skracać z mianownikiem wyraz po wyrazie ani dodawać wykładników. Właściwy ruch to wyłączenie przed nawias najmniejszej z potęg, czyli \(5^{12}\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy dwie większe potęgi przy pomocy \(5^{12}\), korzystając z tego, że przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodają:
\[5^{13}=5^{12}\cdot5,\qquad 5^{14}=5^{12}\cdot5^2.\]
**Krok \(3\).** Wyłączamy \(5^{12}\) przed nawias:
\[5^{12}+5^{13}+5^{14}=5^{12}\left(1+5+5^2\right).\]
**Krok \(4\).** Wstawiamy to do ułamka i skracamy \(5^{12}\) (jest różne od zera):
\[\frac{5^{12}\left(1+5+5^2\right)}{5^{12}}=1+5+5^2.\]
**Krok \(5\).** Liczymy wartość nawiasu:
\[1+5+25=31.\]
**Uwaga.** Pierwszy składnik po wyłączeniu daje \(1\), a nie \(0\) — bo \(5^{12}=5^{12}\cdot1\). Pominięcie tej jedynki daje \(5+25=30\), czyli odpowiedź A. To najczęstszy błąd w tym zadaniu.
**Odpowiedź.** B: \(31\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa - wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.4) Zdający stosuje […] prawa działań na potęgach […].
