Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, maj 2025, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_{3}108-2\log_{3}2\) jest równa
**A.** \(3\)
**B.** \(9\)
**C.** \(\log_{3}104\)
**D.** \(2\log_{3}54\)
Odpowiedź
**A.** Korzystając z własności logarytmów, otrzymujemy
\[\log_{3}108-2\log_{3}2=\log_{3}\frac{108}{2^{2}}=\log_{3}27=3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie, przy czym przed drugim stoi współczynnik \(2\). Działamy w dwóch ruchach: najpierw wciągamy współczynnik do logarytmu wzorem \(n\log_a b=\log_a b^{n}\), a potem zamieniamy różnicę logarytmów na logarytm ilorazu.
**Krok \(2\).** Wciągamy dwójkę:
\[2\log_{3}2=\log_{3}2^{2}=\log_{3}4.\]
**Krok \(3\).** Stosujemy wzór \(\log_a m-\log_a n=\log_a\frac{m}{n}\):
\[\log_{3}108-\log_{3}4=\log_{3}\frac{108}{4}=\log_{3}27.\]
**Krok \(4\).** Obliczamy logarytm z definicji: pytamy, do której potęgi podnieść \(3\), żeby otrzymać \(27\). Ponieważ \(3^{3}=27\), mamy
\[\log_{3}27=3.\]
**Krok \(5\).** Zatem cała liczba jest równa \(3\).
**Uwaga.** Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**, a nie logarytm różnicy — zapis \(\log_{3}(108-4)=\log_{3}104\) (odpowiedź C) jest błędny. Nie wolno też mylić \(2\log_{3}2\) z \(\log_{3}(2\cdot2)\)... tu akurat wychodzi to samo, bo \(2^{2}=2\cdot2\), ale przy innym współczynniku, np. \(3\log_{3}2=\log_{3}8\), a nie \(\log_{3}6\).
**Odpowiedź.** A: \(3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na […] logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
