Potęgi i pierwiastki
Zadanie 5, maj 2022, poziom podstawowy
Liczba
\[3^{2+\frac14}\]
jest równa
**A.** \(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\)
**B.** \(\sqrt[4]{3^3}\)
**C.** \(3^2+\sqrt[4]{3}\)
**D.** \(3^2+\sqrt{3^4}\)
Odpowiedź
**A.** \(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wykładniku stoi suma \(2+\frac14\). Kluczowa własność potęg mówi, że sumie w wykładniku odpowiada **mnożenie** potęg:
\[a^{m+n}=a^m\cdot a^n.\]
**Krok \(2\).** Rozbijamy potęgę zgodnie z tym wzorem:
\[3^{2+\frac14}=3^2\cdot 3^{\frac14}.\]
**Krok \(3\).** Potęgę o wykładniku ułamkowym zamieniamy na pierwiastek, korzystając z \(a^{\frac1n}=\sqrt[n]{a}\):
\[3^{\frac14}=\sqrt[4]{3}.\]
**Krok \(4\).** Składamy wynik:
\[3^{2+\frac14}=3^2\cdot\sqrt[4]{3}.\]
**Uwaga.** Odpowiedzi C i D to typowa pułapka: sumie w wykładniku odpowiada iloczyn potęg, a nie suma. Zapis \(3^{2}+\sqrt[4]{3}\) byłby poprawny tylko wtedy, gdyby w treści stał plus między dwoma osobnymi potęgami.
**Odpowiedź.** A: \(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.4 obliczanie potęg o wykładnikach wymiernych i stosowanie praw działań na takich potęgach.
