Liczby rzeczywiste
Zadanie 3, maj 2008, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[4^{23}x-32^9x=16^4\cdot(4^4)^4.\]
Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci \(2^k\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą.
Odpowiedź
\(x=8=2^{3}\), czyli \(k=3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, że wszystkie liczby w równaniu (\(4\), \(32\), \(16\)) są potęgami dwójki, a niewiadoma \(x\) stoi jako zwykły mnożnik. To wskazówka: zapiszmy każdą liczbę w postaci potęgi o podstawie \(2\), a równanie stanie się liniowe.
**Krok \(2\).** Zamieniamy podstawy po lewej stronie, korzystając ze wzoru \((a^m)^n=a^{mn}\): \[4^{23}=(2^2)^{23}=2^{46},\qquad 32^{9}=(2^5)^{9}=2^{45}.\]
**Krok \(3\).** Zamieniamy podstawy po prawej stronie: \[16^4=(2^4)^4=2^{16},\qquad (4^4)^4=4^{16}=(2^2)^{16}=2^{32},\] więc prawa strona to \(2^{16}\cdot2^{32}=2^{16+32}=2^{48}\).
**Krok \(4\).** Równanie przyjmuje postać \[2^{46}x-2^{45}x=2^{48}.\] Po lewej stronie wyłączamy przed nawias niższą potęgę, czyli \(2^{45}x\): \[2^{45}x\,(2-1)=2^{45}x.\]
**Krok \(5\).** Zostaje \(2^{45}x=2^{48}\). Dzielimy obie strony przez \(2^{45}\) (liczbę dodatnią): \[x=\frac{2^{48}}{2^{45}}=2^{48-45}=2^{3}=8.\]
**Krok \(6\).** Zapisujemy wynik w żądanej postaci \(2^k\): \(x=2^3\), czyli \(k=3\).
**Uwaga.** Najczęstszy błąd polega na potraktowaniu \(x\) jak części wykładnika i pisaniu \(4^{23x}\). W treści \(x\) jest czynnikiem stojącym obok potęgi, więc równanie jest liniowe względem \(x\) — całą pracę wykonuje sprowadzenie liczb do wspólnej podstawy i wyłączenie \(2^{45}\) przed nawias.
**Odpowiedź.** \(x=8=2^{3}\), czyli \(k=3\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Wszystkie liczby występujące w równaniu zapisuję w postaci potęgi o podstawie \(2\): \(2^{46}x-2^{45}x=2^{16}\cdot 2^{32}\)
Po lewej stronie równania wyłączam wspólny czynnik przed nawias, a po prawej stronie wykonuję mnożenie:
\[2^{45}x(2-1)=2^{48}\]
\[2^{45}x=2^{48}\]
dzielę obie strony równania przez \(2^{45}\) i otrzymuję: \(x=2^{48}:2^{45}=2^{3}\)
Rozwiązaniem równania jest liczba \(2^{3}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
