Równania i nierówności
Zadanie 2, maj 2008, poziom podstawowy
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest \(n\) boków i \(n\geqslant3\), wyraża się wzorem
\[P(n)=\frac{n(n-3)}2.\]
Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym,
b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków,
c) sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: *Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych.* Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
a) \(P(20)=170\) przekątnych; b) wielokąt ma \(13\) boków (trzynastokąt); c) stwierdzenie jest fałszywe — kontrprzykładem jest sześciokąt wypukły, dla którego \(P(6)=9\), czyli liczba przekątnych jest nieparzysta.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie \(2\). (\(4\) pkt)
**Krok \(2\).** Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i n ≥ \(3\) wyraża się wzorem
**Krok \(3\).** n ( n − \(3\))
**Krok \(4\).** P ( n) = .
**Krok \(5\).** Wykorzystując ten wzór:
**Krok \(6\).** a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
**Krok \(7\).** b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy
**Krok \(8\).** większa od liczby boków.
**Odpowiedź.** Rozwiązanie i punktacja: zobacz pełny klucz CKE poniżej.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
a) Do podanego wzoru podstawiam \(n=20\) i otrzymuję \(P(20)=\frac{20\cdot 17}{2}=170\).
W dwudziestokącie wypukłym jest \(170\) przekątnych.
b) Zapisuję równanie uwzględniające treść tego podpunktu: \(\frac{n(n-3)}{2}=5n\).
Jest ono równoważne równaniu kwadratowemu \(n^{2}-13n=0\), którego rozwiązaniem są liczby \(n=0\) lub \(n=13\).
Biorąc pod uwagę założenie, że \(n\geq 3\) formułuję odpowiedź: Wielokątem wypukłym, który ma \(5\) razy więcej przekątnych niż boków jest trzynastokąt.
c) Powyższe stwierdzenie nie jest prawdziwe, ponieważ sześciokąt wypukły ma \(9\) przekątnych, czyli \(P(6)=9\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
