Równania i nierówności
Zadanie 4, maj 2008, poziom podstawowy
Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o \(10\%\), a drugi raz o \(5\%\). Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje \(4{,}62\,\mathrm{zł}\). Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami.
Odpowiedź
Przed podwyżkami litr benzyny kosztował \(4\) zł.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie o dwóch kolejnych podwyżkach procentowych. Rzecz najważniejsza: druga podwyżka liczona jest od ceny już podwyższonej, a nie od ceny początkowej — dlatego procentów nie wolno dodawać (\(10\%\) i \(5\%\) to nie to samo co \(15\%\)). Podwyżkę o \(p\%\) najwygodniej zapisywać jako mnożenie przez czynnik \(1+\frac{p}{100}\).
**Krok \(2\).** Oznaczamy przez \(x\) cenę jednego litra benzyny przed podwyżkami (w złotych), przy czym \(x\gt0\).
**Krok \(3\).** Po pierwszej podwyżce o \(10\%\) cena wynosi
\[x+0{,}1x=1{,}1x.\]
**Krok \(4\).** Po drugiej podwyżce o \(5\%\), liczonej już od kwoty \(1{,}1x\), cena wynosi
\[1{,}05\cdot 1{,}1x.\]
**Krok \(5\).** Z treści wiemy, że po obu podwyżkach litr kosztuje \(4{,}62\) zł, więc
\[1{,}05\cdot 1{,}1x=4{,}62.\]
**Krok \(6\).** Mnożymy czynniki: \(1{,}05\cdot1{,}1=1{,}155\), zatem
\[1{,}155x=4{,}62\qquad\Longrightarrow\qquad x=\frac{4{,}62}{1{,}155}=4.\]
**Krok \(7\).** Sprawdzenie: \(4\cdot1{,}1=4{,}40\), a następnie \(4{,}40\cdot1{,}05=4{,}62\). Zgadza się.
**Uwaga.** Gdyby ktoś potraktował obie podwyżki jako jedną o \(15\%\), otrzymałby \(1{,}15x=4{,}62\), czyli \(x\approx4{,}02\) — wynik błędny. Łączny współczynnik podwyżki wynosi \(1{,}155\), co odpowiada podwyżce o \(15{,}5\%\), a nie o \(15\%\).
**Odpowiedź.** Przed podwyżkami litr benzyny kosztował \(4\) zł.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Oznaczam literą \(x\) cenę jednego litra benzyny przed podwyżkami; \(1{,}1x\) – cena jednego litra benzyny po pierwszej podwyżce; \(1{,}05\cdot 1{,}1x\) – cena jednego litra benzyny po obu podwyżkach.
Zapisuję równanie: \(1{,}05\cdot 1{,}1x=4{,}62\), \(1{,}155x=4{,}62\).
Rozwiązaniem równania jest \(x=4\);
Cena jednego litra benzyny przed podwyżkami była równa \(4\) zł.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
