Funkcje
Zadanie 3, lipiec 2020, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem
\[f(x)=\frac{3x+1}{x^2+1}\]
ma pochodną określoną wzorem
**A.** \(f'(x)=\frac3{2x}\)
**B.** \(f'(x)=\frac{-3x^2-2x+3}{2x}\)
**C.** \(f'(x)=\frac{-3x^2-2x+3}{(x^2+1)^2}\)
**D.** \(f'(x)=\frac{9x^2+2x+3}{(x^2+1)^2}\)
Odpowiedź
**C.** \(f'(x)=\frac{-3x^2-2x+3}{(x^2+1)^2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Stosujemy wzór na pochodną ilorazu:
\[f'(x)=\frac{3(x^2+1)-(3x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2}.\]
Po uporządkowaniu licznika otrzymujemy
\[f'(x)=\frac{3x^2+3-6x^2-2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-3x^2-2x+3}{(x^2+1)^2}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R11.1 obliczanie pochodnych funkcji z zastosowaniem wzoru na pochodną ilorazu.
