Liczby rzeczywiste
Zadanie 2, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Liczba (\(7\)^\((\frac{5}{4}) \cdot 7\)^\((\frac{1}{4}))\)^\((\frac{2}{3})\) jest równa
A. \(7\)^\((\frac{5}{3})\)
B. \(7\)
C. \(7\)^\((\frac{3}{2})\)
D. \(7\)^\((\frac{10}{3})\)
Odpowiedź
B. \(7\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Całe wyrażenie
\[\left(7^{\frac54}\cdot7^{\frac14}\right)^{\frac23}\]
zbudowane jest z potęg o tej samej podstawie \(7\). Wystarczą dwa prawa: przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki **dodajemy**, a przy potęgowaniu potęgi — **mnożymy**.
**Krok \(2\).** Zaczynamy od nawiasu (mnożenie):
\[7^{\frac54}\cdot7^{\frac14}=7^{\frac54+\frac14}=7^{\frac64}=7^{\frac32}.\]
**Krok \(3\).** Teraz potęgowanie potęgi:
\[\left(7^{\frac32}\right)^{\frac23}=7^{\frac32\cdot\frac23}.\]
**Krok \(4\).** Liczymy iloczyn wykładników:
\[\frac32\cdot\frac23=\frac{6}{6}=1.\]
**Krok \(5\).** Zatem całe wyrażenie jest równe
\[7^1=7.\]
**Uwaga.** Wykładniki \(\tfrac32\) i \(\tfrac23\) są wzajemnie odwrotne, więc ich iloczyn to \(1\) — nie wolno ich dodawać (dostalibyśmy \(\tfrac{13}{6}\), a takiej odpowiedzi nawet nie ma na liście). Kolejność też jest ważna: najpierw nawias, potem zewnętrzny wykładnik.
**Odpowiedź.** B: \(7\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 2.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
