Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, czerwiec 2021, poziom podstawowy
Wartość wyrażenia \(\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})\) jest równa
A. \(5-2\sqrt{6}\)
B. \(5\)
C. \(5+2\sqrt{6}\)
D. −\(1\)
Odpowiedź
**D.** \(-1\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zanim zaczniemy wymnażać, przyglądamy się wyrażeniu: w obu składnikach powtarza się ten sam nawias \((\sqrt2-\sqrt3)\). To znak, żeby wyłączyć go przed nawias — rachunek zrobi się wtedy błyskawiczny.
**Krok \(2\).** Wyłączamy wspólny czynnik:
\[\sqrt2(\sqrt2-\sqrt3)+\sqrt3(\sqrt2-\sqrt3)=(\sqrt2-\sqrt3)(\sqrt2+\sqrt3).\]
**Krok \(3\).** Powstał iloczyn sumy i różnicy tych samych liczb, czyli prawa strona wzoru na różnicę kwadratów:
\[(u-v)(u+v)=u^2-v^2,\qquad u=\sqrt2,\ v=\sqrt3.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy i korzystamy z tego, że kwadrat pierwiastka z liczby nieujemnej to ta liczba:
\[(\sqrt2)^2-(\sqrt3)^2=2-3=-1.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzenie przez zwykłe wymnożenie nawiasów:
\[\sqrt2\cdot\sqrt2-\sqrt2\cdot\sqrt3+\sqrt3\cdot\sqrt2-\sqrt3\cdot\sqrt3=2-\sqrt6+\sqrt6-3=-1.\]
Środkowe wyrazy się znoszą, wynik ten sam.
**Uwaga.** Odpowiedzi A i C zawierają \(2\sqrt6\) — powstają, gdy ktoś potraktuje wyrażenie jak kwadrat sumy albo różnicy i nie zauważy, że składniki z \(\sqrt6\) się skracają.
**Odpowiedź.** D: \(-1\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 1.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
