Liczby rzeczywiste
Zadanie 3, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Liczba \(3\) \(3\) \(3\) jest równa
A. \(6\) \(3\) B. \(4\) \(3\) C. \(3\) \(3\) D. \(3\)
Odczyt redakcyjny — zapis matematyczny w arkuszu jest rozbity
Prawdopodobny zapis: „Liczba \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) jest równa” z wariantami **A.** \(\sqrt[6]{3}\) **B.** \(\sqrt[4]{3}\) **C.** \(\sqrt[3]{3}\) **D.** \(\sqrt{3}\).
z zapisu zniknęły wszystkie znaki pierwiastka i zostały same liczby: „\(3\) \(3\) \(3\)” to stopień \(3\), czynnik \(3\) i liczba pod wewnętrznym pierwiastkiem, a w wariantach pary „\(6\) \(3\)”, „\(4\) \(3\)”, „\(3\) \(3\)” to stopień plus liczba podpierwiastkowa; samotne „\(3\)” w wariancie D to \(\sqrt{3}\), bo stopnia \(2\) się nie zapisuje. W treści nie ma znaku mnożenia (w tym samym pliku ekstrakcja zachowuje \(\cdot\)), więc chodzi o pierwiastki zagnieżdżone, a nie o iloczyn. Rachunek potwierdza odczyt: \(\sqrt[3]{3\sqrt3}=\left(3^{\frac32}\right)^{\frac13}=3^{\frac12}=\sqrt3\), czyli odpowiedź D; konkurencyjne odwrócone zagnieżdżenie \(\sqrt{3\sqrt[3]{3}}\) daje \(3^{\frac23}=\sqrt[3]{9}\), czego wśród wariantów nie ma, więc odpada.
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W zapisie treści zgubiły się znaki pierwiastków: chodzi o liczbę \(\sqrt[3]{3\sqrt3}\), a warianty odpowiedzi to kolejno \(\sqrt[6]{3}\), \(\sqrt[4]{3}\), \(\sqrt[3]{3}\) oraz \(\sqrt3\). Mamy więc pierwiastek pod pierwiastkiem. Standardowa metoda: zamieniamy wszystkie pierwiastki na potęgi o wykładnikach wymiernych, bo na potęgach liczy się prościej.
**Krok \(2\).** Zapisujemy pierwiastek wewnętrzny jako potęgę:
\[\sqrt3=3^{\frac12}.\]
**Krok \(3\).** Wyrażenie pod pierwiastkiem sześciennym jest iloczynem potęg o tej samej podstawie, więc dodajemy wykładniki:
\[3\cdot\sqrt3=3^{1}\cdot3^{\frac12}=3^{1+\frac12}=3^{\frac32}.\]
**Krok \(4\).** Pierwiastek stopnia trzeciego to potęga o wykładniku \(\frac13\), a przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:
\[\sqrt[3]{3^{\frac32}}=\left(3^{\frac32}\right)^{\frac13}=3^{\frac32\cdot\frac13}=3^{\frac12}=\sqrt3.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, podnosząc wynik do sześcianu: \(\left(\sqrt3\right)^{3}=\sqrt3\cdot\sqrt3\cdot\sqrt3=3\sqrt3\), czyli dokładnie liczba spod pierwiastka. Wynik jest poprawny.
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \(3\) stojącego przed pierwiastkiem wewnętrznym i policzenie \(\sqrt[3]{\sqrt3}=3^{\frac16}=\sqrt[6]{3}\). Czynnik stojący przed pierwiastkiem trzeba najpierw wciągnąć pod pierwiastek, zapisując go jako \(3^{1}\).
**Odpowiedź.** D, czyli \(\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 3.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
