Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Różnica
\[50001^2-49999^2\]
jest równa
**A.** \(2\,000\,000\)
**B.** \(200\,000\)
**C.** \(20\,000\)
**D.** \(4\)
Odpowiedź
**B.** \(200\,000\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Widzimy różnicę kwadratów dwóch dużych liczb. Podnoszenie ich do kwadratu byłoby stratą czasu — rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia
\[a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).\]
**Krok \(2\).** Przyjmujemy \(a=50001\) oraz \(b=49999\) i zapisujemy różnicę zgodnie ze wzorem:
\[50001^{2}-49999^{2}=(50001-49999)(50001+49999).\]
**Krok \(3\).** Liczymy pierwszy nawias:
\[50001-49999=2.\]
**Krok \(4\).** Liczymy drugi nawias:
\[50001+49999=100\,000.\]
**Krok \(5\).** Mnożymy otrzymane liczby:
\[2\cdot 100\,000=200\,000.\]
**Uwaga.** Warto zobaczyć, dlaczego ten wzór tak skraca rachunki: obie liczby leżą blisko siebie, więc ich różnica jest maleńka (\(2\)), a suma okrągła (\(100\,000\)). Rozwinięcie kwadratów dałoby ten sam wynik, ale kosztem rachunków na dziesięciocyfrowych liczbach.
**Odpowiedź.** B. \(200\,000\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź B
**0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** wyrażenia algebraiczne - wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
