Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Liczba
\[\frac{3^{27}+3^{26}}{3^{26}+3^{25}}\]
jest równa
**A.** \(1\)
**B.** \(3\)
**C.** \(6\)
**D.** \(9\)
Odpowiedź
**B.** \(3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W liczniku i w mianowniku stoją **sumy** potęg o tej samej podstawie. Przez składniki sumy nie wolno skracać, więc najpierw w każdej sumie wyłączamy wspólny czynnik — potęgę o najmniejszym wykładniku.
**Krok \(2\).** Licznik: najmniejszy wykładnik to \(26\), a \(3^{27}=3^{26}\cdot3\), zatem
\[3^{27}+3^{26}=3^{26}\cdot3+3^{26}\cdot1=3^{26}(3+1)=4\cdot3^{26}.\]
**Krok \(3\).** Mianownik: najmniejszy wykładnik to \(25\), a \(3^{26}=3^{25}\cdot3\), zatem
\[3^{26}+3^{25}=3^{25}(3+1)=4\cdot3^{25}.\]
**Krok \(4\).** Dzielimy i skracamy czynnik \(4\):
\[\frac{4\cdot3^{26}}{4\cdot3^{25}}=\frac{3^{26}}{3^{25}}.\]
**Krok \(5\).** Korzystamy ze wzoru \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\):
\[\frac{3^{26}}{3^{25}}=3^{26-25}=3^1=3.\]
**Uwaga.** Nie wolno skracać osobno \(\frac{3^{27}}{3^{26}}\) i \(\frac{3^{26}}{3^{25}}\), bo skraca się tylko czynniki, a nie składniki sumy. Tutaj taki skrót przypadkiem prowadzi do prawidłowej liczby, ale w innych zadaniach da wynik błędny.
**Odpowiedź.** B: \(3\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 8. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
