Potęgi i pierwiastki
Zadanie 4, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Liczba
\[
x=63^2\cdot\left(\frac13\right)^4.
\]
Wtedy
**A.** \(x=7^2\)
**B.** \(x=7^{-2}\)
**C.** \(x=3^8\cdot7^2\)
**D.** \(x=3\cdot7\)
Odpowiedź
**A.** \(x=7^2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wyrażeniu \(x=63^2\cdot\left(\frac13\right)^4\) mamy potęgi o dwóch różnych podstawach: \(63\) i \(3\). Takich potęg nie da się od razu porównać, dlatego pierwszym ruchem jest rozłożenie liczby \(63\) na czynniki pierwsze, żeby po obu stronach pojawiła się ta sama podstawa \(3\).
**Krok \(2\).** Rozkładamy: \(63=9\cdot7=3^2\cdot7\).
**Krok \(3\).** Podnosimy do kwadratu, korzystając ze wzorów \((ab)^n=a^n b^n\) oraz \(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\):
\[63^2=\left(3^2\cdot7\right)^2=\left(3^2\right)^2\cdot7^2=3^4\cdot7^2.\]
**Krok \(4\).** Drugi czynnik zapisujemy jako potęgę o podstawie \(3\):
\[\left(\frac13\right)^4=\frac{1}{3^4}=3^{-4}.\]
**Krok \(5\).** Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:
\[x=3^4\cdot7^2\cdot3^{-4}=3^{4-4}\cdot7^2=3^0\cdot7^2=7^2.\]
**Uwaga.** Widać tu, że \(3^4=81\) skraca się z \(\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}\) — właśnie dlatego z wyniku znika podstawa \(3\) i nie może być poprawna odpowiedź **C**, w której trójka występuje.
**Odpowiedź.** A: \(x=7^2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – stosuje prawa działań na potęgach.
