Inne zagadnienia
Zadanie 4, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Liczba \(3^{\frac94}\) jest równa:
**A.** \(3\sqrt[4]{3}\)
**B.** \(9\sqrt[4]{3}\)
**C.** \(27\sqrt[4]{3}\)
**D.** \(3^9\cdot3^{\frac14}\)
Odpowiedź
**B.** \(9\sqrt[4]{3}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wykładnik jest ułamkiem niewłaściwym, a odpowiedzi mają postać: liczba całkowita razy pierwiastek. To podpowiada metodę: rozbić wykładnik na część całkowitą i ułamkową, bo \(a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\).
**Krok \(2\).** Rozbijamy ułamek \(\frac94\):
\[\frac94=\frac{8+1}{4}=2+\frac14.\]
**Krok \(3\).** Korzystamy ze wzoru na potęgę sumy wykładników:
\[3^{\frac94}=3^{2+\frac14}=3^{2}\cdot3^{\frac14}.\]
**Krok \(4\).** Zamieniamy każdy czynnik na prostszą postać: \(3^{2}=9\), a wykładnik \(\frac14\) oznacza pierwiastek czwartego stopnia, czyli \(3^{\frac14}=\sqrt[4]{3}\). Zatem
\[3^{\frac94}=9\sqrt[4]{3}.\]
**Krok \(5\).** Kontrola drugą drogą, przez wzór \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\):
\[3^{\frac94}=\sqrt[4]{3^{9}}=\sqrt[4]{3^{8}\cdot3}=\sqrt[4]{3^{8}}\cdot\sqrt[4]{3}=3^{2}\sqrt[4]{3}=9\sqrt[4]{3}.\]
Wynik ten sam.
**Uwaga.** Odpowiedź D, czyli \(3^{9}\cdot3^{\frac14}\), to \(3^{9+\frac14}\), a więc zupełnie inna liczba — przy mnożeniu potęg wykładniki się **dodają**, a nie mnożą.
**Odpowiedź.** B: \(9\sqrt[4]{3}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **B**
**0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi o wykładniku wymiernym i pierwiastki.
