Inne zagadnienia
Zadanie 3, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Liczba
\[\left(\frac{3+\sqrt3}{\sqrt3}\right)^2\]
jest równa:
**A.** \(4\)
**B.** \(9\)
**C.** \(\frac{3+\sqrt3}{3}\)
**D.** \(4+2\sqrt3\)
Odpowiedź
**D.** \(4+2\sqrt3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wyrażenie to kwadrat ułamka z niewymiernym mianownikiem. Najwygodniej najpierw uprościć sam ułamek (pozbyć się pierwiastka z mianownika), a dopiero potem podnieść wynik do kwadratu.
**Krok \(2\).** Rozdzielamy ułamek na dwa składniki - wolno tak zrobić, bo suma jest w liczniku:
\[\frac{3+\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}+\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{3}{\sqrt3}+1.\]
**Krok \(3\).** Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt3\):
\[\frac{3}{\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3.\]
Zatem cały nawias jest równy \(\sqrt3+1\).
**Krok \(4\).** Podnosimy do kwadratu, korzystając ze wzoru \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\):
\[(\sqrt3+1)^2=(\sqrt3)^2+2\cdot\sqrt3\cdot 1+1^2=3+2\sqrt3+1=4+2\sqrt3.\]
**Krok \(5\).** Kontrola drugą drogą: kwadrat ułamka to kwadrat licznika przez kwadrat mianownika,
\[\frac{(3+\sqrt3)^2}{(\sqrt3)^2}=\frac{9+6\sqrt3+3}{3}=\frac{12+6\sqrt3}{3}=4+2\sqrt3.\]
Wynik ten sam.
**Uwaga.** Nie skracamy \(3\) z \(\sqrt3\) w wyjściowym ułamku - w liczniku stoi suma, a skracać wolno tylko czynniki. Nie wolno też pisać \((\sqrt3+1)^2=3+1\); potrzebny jest pełny wzór skróconego mnożenia z wyrazem środkowym.
**Odpowiedź.** D: \(4+2\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **D**
**0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** potęgi i pierwiastki, działania na wyrażeniach z pierwiastkami.
