Potęgi i pierwiastki
Zadanie 7, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Udowodnij, że liczba
\[3^{45}+9^{22}+27^{14}\]
jest podzielna przez \(37\).
Odpowiedź
Liczba jest podzielna przez \(37\).
Rozwiązanie krok po kroku
Sprowadzamy wszystkie składniki do potęg liczby \(3\):
\[3^{45}+9^{22}+27^{14}=3^{45}+(3^2)^{22}+(3^3)^{14}\]
\[=3^{45}+3^{44}+3^{42}=3^{42}(3^3+3^2+1)=3^{42}\cdot37.\]
Ponieważ \(3^{42}\) jest liczbą całkowitą, rozpatrywana liczba jest podzielna przez \(37\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przekształcenie do postaci \(3^{42}\cdot37\)
**1 pkt** – przekształcenie do postaci \(3^{45}+3^{44}+3^{42}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych.
I.4) Stosuje prawa działań na potęgach.
