Liczby rzeczywiste
Zadanie 3, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba
\[(3n+5)^2+11n^2-18\]
przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Odpowiedź
Liczba ma postać \(5Q+2\), gdzie \(Q\in\mathbb{Z}\), więc przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy wyrażenie:
\[(3n+5)^2+11n^2-18=9n^2+30n+25+11n^2-18\]
\[=20n^2+30n+7=5(4n^2+6n+1)+2.\]
Dla \(n\in\mathbb{Z}\) liczba \(4n^2+6n+1\) jest całkowita. Otrzymaliśmy zatem postać \(5Q+2\), co dowodzi, że reszta z dzielenia przez \(5\) jest równa \(2\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – otrzymanie postaci \(5(4n^2+6n+1)+2\) i wskazanie, że \(4n^2+6n+1\) jest liczbą całkowitą
**1 pkt** – otrzymanie postaci \(20n^2+30n+7\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i uzasadnianie wniosków.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
