Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
**Wykaż, że liczba** \(\mathbf{2501^{4}-2499^{4}}\) **jest podzielna przez** \(\mathbf{10\,000}\)**.**
Odpowiedź
\(2501^4-2499^4\) jest podzielne przez \(10\,000\).
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na różnicę kwadratów:
\[\begin{aligned}2501^4-2499^4&=(2501^2-2499^2)(2501^2+2499^2)\\&=(2501-2499)(2501+2499)(2501^2+2499^2)\\&=2\cdot5000\cdot(2501^2+2499^2)\\&=10\,000\cdot(2501^2+2499^2).\end{aligned}\]
Liczba \(2501^2+2499^2\) jest całkowita, więc dane wyrażenie jest podzielne przez \(10\,000\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie prowadzące do wykazania podzielności
**1 pkt** – przekształcenie
\[2501^4-2499^4=(2501^2-2499^2)(2501^2+2499^2).\]
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych.
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia, w szczególności \(a^2-b^2\).
