Inne zagadnienia
Zadanie 7, maj 2026, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(14\).
Podpowiedź
Wyłącz wspólny czynnik \(7n\) i zbadaj parzystość pozostałego iloczynu.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Wystarczy wykazać jednoczesną podzielność przez \(7\) i przez \(2\).
Rozwiązanie
Przekształcamy \[7n^2+21n=7n(n+3).\] Liczby \(n\) i \(n+3\) mają przeciwną parzystość, ponieważ różnią się o liczbę nieparzystą. Jedna z nich jest więc parzysta, a iloczyn \(n(n+3)\) jest podzielny przez \(2\). Całe wyrażenie zawiera ponadto czynnik \(7\), zatem jest podzielne przez \(14\).
Sprawdzenie
Liczby \(2\) i \(7\) są względnie pierwsze, więc podzielność przez obie oznacza podzielność przez \(14\).
Odpowiedź
Liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(14\) dla każdej liczby całkowitej \(n\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:
\[7n^{2}+21n=7n(n+3).\]
Wystarczy wykazać, że iloczyn \(n(n+3)\) jest podzielny przez \(2\) — wtedy cała liczba dzieli się przez \(7\cdot2=14\).
Liczby \(n\) i \(n+3\) różnią się o \(3\), czyli o liczbę nieparzystą, więc mają różną parzystość: dokładnie jedna z nich jest parzysta.
Jeżeli \(n=2k\), to
\[7n(n+3)=7\cdot2k\,(2k+3)=14k(2k+3).\]
Jeżeli \(n=2k+1\), to \(n+3=2k+4=2(k+2)\), więc
\[7n(n+3)=7(2k+1)\cdot2(k+2)=14(2k+1)(k+2).\]
W obu przypadkach otrzymujemy liczbę postaci \(14m\), gdzie \(m\) jest całkowite.
**Odpowiedź.** Dla każdej liczby całkowitej \(n\) liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(14\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania, to znaczy uzasadnienie, że liczba \(7n^{2}+21n\) jest podzielna przez \(7\) i przez \(2\), albo rozpatrzenie obu przypadków \(n=2k\) oraz \(n=2k+1\) i wykazanie w każdym z nich podzielności przez \(14\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
**Uwaga CKE:** samo zapisanie \(7n^{2}+21n=7n(n+3)\) nie wystarcza jako uzasadnienie podzielności przez \(7\) i przez \(2\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymaganie szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
