Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n \geq 0\) liczba \(7^{n} + 7^{n+1} + 7^{n+2}\) jest podzielna przez \(19\).
Odpowiedź
\(7n\) + \(7n\)+\(1\) + \(7n\)+\(2\) = \(7n\)(\(1 + 7\) + \(7^{2}\)) = \(57\cdot 7n\) = \(19\)·(\(3\cdot 7n\)). Ponieważ \(3\cdot 7n\) jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego n ≥ \(0\), badana liczba jest podzielna przez \(19\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: przekształcenie wyrażenia do postaci \(7n\)(\(1 + 7\) + \(7^{2}\)).
**Krok \(2\).** pkt: poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie kończące dowód podzielności przez \(19\). Samo sprawdzenie wybranych n daje \(0\) pkt.
**Odpowiedź.** \(7n\) + \(7n\)+\(1\) + \(7n\)+\(2\) = \(7n\)(\(1 + 7\) + \(7^{2}\)) = \(57\cdot 7n\) = \(19\)·(\(3\cdot 7n\)). Ponieważ \(3\cdot 7n\) jest liczbą całkowitą dla każdego całkowitego n ≥ \(0\), badana liczba jest podzielna przez \(19\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: przekształcenie wyrażenia do postaci 7ⁿ(1 + 7 + 7²).
2 pkt: poprawne przekształcenia i pełne rozumowanie kończące dowód podzielności przez 19. Samo sprawdzenie wybranych n daje 0 pkt.
Wymagania podstawy programowej
IV. Rozumowanie i argumentacja. I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
