Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że \(a<b\) oraz obie są niepodzielne przez \(3\).
Udowodnij, że liczba
\[a^2+11ab+b^2\]
jest podzielna przez \(9\).
Odpowiedź
Wyrażenie jest wielokrotnością \(9\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dwie kolejne liczby naturalne niepodzielne przez \(3\) mają postać
\[a=3k+1,\qquad b=3k+2\]
dla pewnego \(k\in\mathbb{Z}_{\geq0}\). Wtedy
\[a^2+11ab+b^2=(3k+1)^2+11(3k+1)(3k+2)+(3k+2)^2\]
\[=117k^2+117k+27=9(13k^2+13k+3).\]
Liczba \(13k^2+13k+3\) jest całkowita, więc dane wyrażenie jest podzielne przez \(9\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód, w tym otrzymanie \(9(13k^2+13k+3)\) i uzasadnienie całkowitości drugiego czynnika
**2 pkt** – podstawienie \(a=3k+1\), \(b=3k+2\) i otrzymanie \(117k^2+117k+27\), albo zapisanie \(9ab+(a+b)^2\) i wykazanie podzielności \(a+b\) przez \(3\)
**1 pkt** – zapisanie \(a=3k+1\), \(b=3k+2\), albo przekształcenie do \(9ab+(a+b)^2\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i uzasadnianie wniosków.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
