Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 7, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Udowodnij, że jeśli \(a>0\) i \(b>0\) oraz \(a+b=1\), to
\[ab\leq\frac14.\]
Odpowiedź
\[ab\leq\frac14,\] przy czym równość zachodzi dla \(a=b=\frac12\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z założenia \(b=1-a\). Nierówność przekształcamy równoważnie:
\[ab\leq\frac14\iff a(1-a)\leq\frac14\iff a^2-a+\frac14\geq0\iff\left(a-\frac12\right)^2\geq0.\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(a\), więc teza zachodzi.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje trzy rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – pełny poprawny dowód
**1 pkt** – sprowadzenie tezy do \(\left(a-\frac12\right)^2\geq0\) albo poprawne użycie nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1. Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
