Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 29, sierpień 2014, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\frac{4}{\sin^{2}\alpha}+\frac{4}{\cos^{2}\alpha}=25\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\).
Odpowiedź
\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac25.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i \(\cos\alpha>0\) — obydwa mianowniki są różne od zera. Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:
\[\frac{4}{\sin^{2}\alpha}+\frac{4}{\cos^{2}\alpha}=\frac{4\left(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha\right)}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}=\frac{4}{\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^{2}}.\]
Z warunku zadania
\[\frac{4}{\left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^{2}}=25,\qquad \left(\sin\alpha\cos\alpha\right)^{2}=\frac{4}{25}.\]
Iloczyn \(\sin\alpha\cos\alpha\) jest dodatni, więc
\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac25.\]
**Odpowiedź.** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac25\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika. 2 pkt: wynik 2/5.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.
