Potęgi i pierwiastki
Zadanie 25, sierpień 2011, poziom podstawowy
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli
\[
1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16,
\]
jest podzielny przez \(2^{15}\).
Odpowiedź
\(16!\) jest podzielne przez \(2^{15}\) — w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze występuje dokładnie \(15\) dwójek.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy wykazać podzielność przez potęgę liczby pierwszej. Liczba jest podzielna przez \(2^{15}\) dokładnie wtedy, gdy w jej rozkładzie na czynniki pierwsze dwójka występuje co najmniej \(15\) razy. Nie musimy więc obliczać iloczynu \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16\) — wystarczy policzyć dwójki.
**Krok \(2\).** Czynniki nieparzyste, czyli \(1,3,5,7,9,11,13,15\), nie zawierają w swoim rozkładzie ani jednej dwójki. Odkładamy je na bok i zajmujemy się tylko czynnikami parzystymi.
**Krok \(3\).** Rozkładamy każdy czynnik parzysty na czynniki pierwsze:
\[2=2^1,\qquad 4=2^2,\qquad 6=2^1\cdot3,\qquad 8=2^3,\]
\[10=2^1\cdot5,\qquad 12=2^2\cdot3,\qquad 14=2^1\cdot7,\qquad 16=2^4.\]
**Krok \(4\).** Mnożymy je wszystkie. Potęgi o podstawie \(2\) mnożymy, dodając wykładniki:
\[1+2+1+3+1+2+1+4=15,\]
a pozostałe czynniki dają \(3\cdot5\cdot3\cdot7=315\). Zatem
\[2\cdot4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12\cdot14\cdot16=2^{15}\cdot315.\]
**Krok \(5\).** Wracamy do całego iloczynu i dopisujemy odłożone czynniki nieparzyste:
\[1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=2^{15}\cdot315\cdot\left(1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\cdot13\cdot15\right).\]
**Krok \(6\).** Liczba stojąca obok \(2^{15}\) jest iloczynem liczb naturalnych, więc sama jest liczbą naturalną. Oznaczmy ją przez \(k\); otrzymujemy
\[1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=2^{15}\cdot k,\qquad k\in\mathbb{N}.\]
**Krok \(7\).** To dokładnie oznacza, że iloczyn \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16\) jest podzielny przez \(2^{15}\), co należało wykazać.
**Uwaga.** Sam fakt, że wśród czynników jest \(8\) liczb parzystych, daje dopiero \(8\) dwójek — to za mało. Kluczowe jest to, że liczby \(4\), \(8\), \(12\) i \(16\) wnoszą po kilka dwójek naraz.
**Odpowiedź.** Iloczyn \(1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot16=16!\) zawiera w rozkładzie na czynniki pierwsze dokładnie \(15\) dwójek, więc jest podzielny przez \(2^{15}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne rozłożenie i zliczanie czynników 2. 2 pkt: pełny dowód występowania co najmniej 15 czynników 2.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Liczby rzeczywiste – dowodzi podzielności silni przez potęgę liczby pierwszej.
